Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2017

Đề thi

Bài 1Với mỗi số nguyên $a_0>1$ , xác định dãy $a_0,a_1,a_2,\ldots$ với $n\ge 0$ bởi $a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n} & \text{if }\sqrt{a_n}\text{ is an integer},\\ a_n+3 & \text{otherwise}.\end{cases}$ Xác định tất cả các giá trị của $a_0$ để tồn tại một số $A$ sao cho $a_n=A$ với vô hạn giá trị $n$ .Các cách giải: 1
Bài 2Gọi $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực. Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x$ và $y$ , $f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).$ Các cách giải: 1
Bài 3Một thợ săn và một con thỏ vô hình chơi trò chơi trên mặt phẳng Euclid. Điểm xuất phát của thỏ là $A_0$ và điểm xuất phát của thợ săn là $B_0$ , với hai điểm này trùng nhau. Sau $n-1$ vòng chơi, thỏ ở $A_{n-1}$ còn thợ săn ở $B_{n-1}$ . Trong vòng thứ $n$ , lần lượt xảy ra ba việc: (i) thỏ di chuyển trong vô hình tới điểm $A_n$ sao cho khoảng cách giữa $A_{n-1}$ và $A_n$ đúng bằng $1$ ; (ii) thiết bị theo dõi báo cho thợ săn một điểm $P_n$ , với bảo đảm duy nhất là khoảng cách giữa $P_n$ và $A_n$ không vượt quá $1$ ; (iii) thợ săn di chuyển công khai tới điểm $B_n$ sao cho khoảng cách giữa $B_{n-1}$ và $B_n$ đúng bằng $1$ . Bất kể thỏ di chuyển thế nào và thiết bị theo dõi báo những điểm nào, liệu thợ săn có luôn chọn được các bước đi để sau $10^9$ vòng bảo đảm khoảng cách giữa mình và thỏ không vượt quá $100$ hay không?Các cách giải: 1
Bài 4Cho $R$ và $S$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $\Omega$ sao cho $RS$ không phải là đường kính. Gọi $\ell$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $R$ . Điểm $T$ được chọn sao cho $S$ là trung điểm của $RT$ . Chọn điểm $J$ trên cung nhỏ $RS$ của $\Omega$ sao cho đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của tam giác $JST$ cắt $\ell$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A$ là giao điểm chung của $\Gamma$ và $\ell$ gần $R$ hơn. Đường thẳng $AJ$ lại cắt $\Omega$ tại $K$ . Chứng minh rằng đường thẳng $KT$ là tiếp tuyến của $\Gamma$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho một số nguyên $N \ge 2$ . Có $N(N+1)$ cầu thủ bóng đá, không ai có cùng chiều cao với ai khác, đứng thành một hàng. Ngài Alex muốn loại bỏ $N(N-1)$ cầu thủ khỏi hàng này để còn lại một hàng mới gồm $2N$ cầu thủ sao cho $N$ điều kiện sau đây được thỏa mãn: không ai đứng giữa hai cầu thủ cao nhất, không ai đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cầu thủ cao thứ tư, $\ldots$ , không ai đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất. Chứng minh rằng điều này luôn luôn thực hiện được.Các cách giải: 1
Bài 6Một cặp có thứ tự $(x,y)$ gồm các số nguyên được gọi là điểm nguyên thủy nếu $\gcd(x,y)=1$ . Cho một tập hữu hạn $S$ gồm các điểm nguyên thủy. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ và các số nguyên $a_0,a_1,\ldots,a_n$ sao cho với mọi $(x,y)\in S$ , ta có $a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1$ .Các cách giải: 1