MathLabs

Bài 3

Một thợ săn và một con thỏ vô hình chơi trò chơi trên mặt phẳng Euclid. Điểm xuất phát của thỏ là A0A_0 và điểm xuất phát của thợ săn là B0B_0, với hai điểm này trùng nhau. Sau n−1n-1 vòng chơi, thỏ ở An−1A_{n-1} còn thợ săn ở Bn−1B_{n-1}. Trong vòng thứ nn, lần lượt xảy ra ba việc: (i) thỏ di chuyển trong vô hình tới điểm AnA_n sao cho khoảng cách giữa An−1A_{n-1} và AnA_n đúng bằng 11; (ii) thiết bị theo dõi báo cho thợ săn một điểm PnP_n, với bảo đảm duy nhất là khoảng cách giữa PnP_n và AnA_n không vượt quá 11; (iii) thợ săn di chuyển công khai tới điểm BnB_n sao cho khoảng cách giữa Bn−1B_{n-1} và BnB_n đúng bằng 11. Bất kể thỏ di chuyển thế nào và thiết bị theo dõi báo những điểm nào, liệu thợ săn có luôn chọn được các bước đi để sau 10910^9 vòng bảo đảm khoảng cách giữa mình và thỏ không vượt quá 100100 hay không?
Bước 3 trên 9: Hai lộ trình ẩn đối xứng
Bước trướcBước tiếp
∣RY1∣=∣RY2∣=200,dist⁡(Yi,r)=1,∣Y1Y2∣=2|RY_1|=|RY_2|=200,\qquad \operatorname{dist}(Y_i,r)=1,\qquad |Y_1Y_2|=2
Phân tích chi tiết

Chọn các điểm Y1Y_1 và Y2Y_2 ở hai phía đối nhau của rr, mỗi điểm cách rr một khoảng 11 và cách RR một khoảng 200200. Chúng đối xứng qua rr, nên ∣Y1Y2∣=2|Y_1Y_2|=2. Thỏ chọn một đầu mút rồi đi theo đoạn thẳng từ RR tới đó bằng 200200 bước dài một đơn vị. Mọi điểm trung gian cách rr không quá 11, nên thiết bị có thể báo hình chiếu vuông góc của điểm đó lên rr. Hai lộ trình khi ấy cho cùng các báo cáo, và mọi báo cáo đều hợp lệ.