MathLabs

Bài 3

Một thợ săn và một con thỏ vô hình chơi trò chơi trên mặt phẳng Euclid. Điểm xuất phát của thỏ là A0A_0 và điểm xuất phát của thợ săn là B0B_0, với hai điểm này trùng nhau. Sau n−1n-1 vòng chơi, thỏ ở An−1A_{n-1} còn thợ săn ở Bn−1B_{n-1}. Trong vòng thứ nn, lần lượt xảy ra ba việc: (i) thỏ di chuyển trong vô hình tới điểm AnA_n sao cho khoảng cách giữa An−1A_{n-1} và AnA_n đúng bằng 11; (ii) thiết bị theo dõi báo cho thợ săn một điểm PnP_n, với bảo đảm duy nhất là khoảng cách giữa PnP_n và AnA_n không vượt quá 11; (iii) thợ săn di chuyển công khai tới điểm BnB_n sao cho khoảng cách giữa Bn−1B_{n-1} và BnB_n đúng bằng 11. Bất kể thỏ di chuyển thế nào và thiết bị theo dõi báo những điểm nào, liệu thợ săn có luôn chọn được các bước đi để sau 10910^9 vòng bảo đảm khoảng cách giữa mình và thỏ không vượt quá 100100 hay không?
Bước 4 trên 9: Thợ săn không thể xác định phía
Bước trướcBước tiếp
H∗∈r,∣HH∗∣=200,∣H∗R∣=200−dH^*\in r,\qquad |HH^*|=200,\qquad |H^*R|=200-d
Phân tích chi tiết

Gọi H∗H^* là điểm trên rr đạt được khi đi 200200 đơn vị từ HH qua phía RR. Mọi điểm QQ mà thợ săn có thể tới sau 200200 bước đơn vị đều có hình chiếu lên rr không vượt quá H∗H^* theo hướng từ HH qua RR. Vì d≥1d\ge1 còn độ lệch nhỏ của YiY_i so với điểm cách RR 200200 đơn vị về phía trước nhỏ hơn 1/4001/400, cả hai đích đều nằm qua H∗H^*. Hai lộ trình cho cùng báo cáo, nên thợ săn đi cùng một đường trong cả hai trường hợp. Dù QQ nằm ở phía nào của rr, đích ở phía đối diện cũng cách QQ ít nhất bằng H∗YiH^*Y_i. Nếu QQ nằm trên rr, cả hai đích đều có cận dưới đó. Vì vậy thỏ có thể chọn lộ trình sao cho khoảng cách cuối ít nhất là y:=H∗Y1=H∗Y2y:=H^*Y_1=H^*Y_2.