MathLabs

Bài 3

Một thợ săn và một con thỏ vô hình chơi trò chơi trên mặt phẳng Euclid. Điểm xuất phát của thỏ là A0A_0 và điểm xuất phát của thợ săn là B0B_0, với hai điểm này trùng nhau. Sau n−1n-1 vòng chơi, thỏ ở An−1A_{n-1} còn thợ săn ở Bn−1B_{n-1}. Trong vòng thứ nn, lần lượt xảy ra ba việc: (i) thỏ di chuyển trong vô hình tới điểm AnA_n sao cho khoảng cách giữa An−1A_{n-1} và AnA_n đúng bằng 11; (ii) thiết bị theo dõi báo cho thợ săn một điểm PnP_n, với bảo đảm duy nhất là khoảng cách giữa PnP_n và AnA_n không vượt quá 11; (iii) thợ săn di chuyển công khai tới điểm BnB_n sao cho khoảng cách giữa Bn−1B_{n-1} và BnB_n đúng bằng 11. Bất kể thỏ di chuyển thế nào và thiết bị theo dõi báo những điểm nào, liệu thợ săn có luôn chọn được các bước đi để sau 10910^9 vòng bảo đảm khoảng cách giữa mình và thỏ không vượt quá 100100 hay không?
Bước 7 trên 9: Mỗi khối làm tăng bình phương khoảng cách
Bước trướcBước tiếp
y2=d2+ε(400−2d)>d2+12y^2=d^2+\varepsilon(400-2d)>d^2+\frac12
Phân tích chi tiết

Thay ε2+1=400ε\varepsilon^2+1=400\varepsilon vào y2=1+(d−ε)2y^2=1+(d-\varepsilon)^2 được y2=d2+ε(400−2d)y^2=d^2+\varepsilon(400-2d). Vì d≤100d\le100 nên 400−2d≥200400-2d\ge200, và vì ε>1/400\varepsilon>1/400 nên y2>d2+1/2y^2>d^2+1/2. Vậy bất kể thợ săn di chuyển thế nào, thỏ có thể chọn một trong hai lộ trình không thể phân biệt để sau 200200 vòng, bình phương khoảng cách mới lớn hơn bình phương cũ ít nhất 1/21/2.