Math Labs

Bài 6

Một cặp có thứ tự (x,y)(x,y) gồm các số nguyên được gọi là điểm nguyên thủy nếu gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1. Cho một tập hữu hạn SS gồm các điểm nguyên thủy. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương nn và các số nguyên a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n sao cho với mọi (x,y)∈S(x,y)\in S, ta có a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1.
Bước 1 trên 8: Khởi đầu quy nạp bằng bổ đề Bézout
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Với một điểm nguyên thủy, ta có một dạng tuyến tính nguyên nhận giá trị 1.

P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by
Phân tích chi tiết

Ta quy nạp theo số phần tử của SS. Ở bước cơ sở, viết điểm duy nhất là (x1,y1)(x_1,y_1). Tính nguyên thủy cho các số nguyên a,b sao cho ax1+by1=1ax_1+by_1=1. Đặt P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by; đây là đa thức thuần nhất bậc dương và P(x1,y1)=1P(x_1,y_1)=1.