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第6問

整数の順序対 (x,y)(x,y) を、gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1 を満たすとき原始点と呼ぶ。原始点の有限集合 SS に対し、正の整数 nn と整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n が存在して、すべての (x,y)∈S(x,y)\in S について a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1 となることを証明せよ。
ステップ 1/8: ベズーの補題から帰納法を始める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

一点の原始点には値1をとる整数係数線形形式がある。

P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by
詳しい解説

SS の要素数について帰納法を行う。基底では唯一の点を (x1,y1)(x_1,y_1) と書く。原始性より ax1+by1=1ax_1+by_1=1 を満たす整数 a,b が存在する。P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by とおけば、これは正の次数の斉次多項式であり P(x1,y1)=1P(x_1,y_1)=1 となる。