MathLabs

Bài 2

Tìm tất cả các số nguyên n≥3n \ge 3 mà tồn tại các số thực a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n thỏa mãn an+1=a1a_{n+1}=a_1, an+2=a2a_{n+2}=a_2, và aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2} với i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n.
Bước 1 trên 7: Đáp số và cách dựng đạt được
Bước trướcBước tiếp
3∣n,a3j+1=a3j+2=−1, a3j+3=23\mid n,\qquad a_{3j+1}=a_{3j+2}=-1,\ a_{3j+3}=2
Phân tích chi tiết

Khẳng định là các số thực như vậy tồn tại đúng khi 3∣n3\mid n. Với n=3kn=3k, lặp lại khối (−1,−1,2)(-1,-1,2) tổng cộng kk lần — tức a3j+1=a3j+2=−1a_{3j+1}=a_{3j+2}=-1 và a3j+3=2a_{3j+3}=2 với j=0,1,…,k−1j=0,1,\ldots,k-1 — cho một dãy hợp lệ: mọi ba số hạng liên tiếp theo vòng tròn là một phép quay của (−1,−1,2)(-1,-1,2), và (−1)(−1)+1=2(-1)(-1)+1=2, (−1)(2)+1=−1(-1)(2)+1=-1, (2)(−1)+1=−1(2)(-1)+1=-1 cho thấy aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2} đúng với mọi i=1,…,ni=1,\ldots,n. Còn phải chứng minh không có n≥3n\ge 3 nào khác thỏa mãn.