Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2018

Đề thi

Bài 1Cho $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$ . Các điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ , sao cho $AD=AE$ . Các đường trung trực của $BD$ và $CE$ lần lượt cắt các cung nhỏ $AB$ và $AC$ của $\Gamma$ tại $F$ và $G$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $DE$ và $FG$ hoặc song song, hoặc trùng nhau.Các cách giải: 1
Bài 2Tìm tất cả các số nguyên $n \ge 3$ mà tồn tại các số thực $a_1, a_2, \ldots, a_n$ thỏa mãn $a_{n+1}=a_1$ , $a_{n+2}=a_2$ , và $a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}$ với $i=1,2,\ldots,n$ .Các cách giải: 1
Bài 3Một tam giác anti-Pascal là một mảng số hình tam giác đều sao cho, ngoại trừ các số ở hàng đáy, mỗi số bằng giá trị tuyệt đối của hiệu của hai số ngay bên dưới nó. Dưới đây là một tam giác anti-Pascal bốn hàng chứa mọi số nguyên từ 1 đến 10: $\begin{array}{ccccccccccc} &&&&4&&&&\\ &&&2&&6&&&\\ &5&&7&&1&&&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array}$ Có tồn tại một tam giác anti-Pascal có 2018 hàng chứa mọi số nguyên từ 1 đến $1+2+\cdots+2018$ không?Các cách giải: 1
Bài 4Một điểm được gọi là một vị trí nếu nó có dạng $(x,y)$ trong mặt phẳng với $x,y\in\{1,2,\ldots,20\}$ . Ban đầu cả 400 vị trí đều chưa được chiếm. Amy và Ben lần lượt đặt quân lên các vị trí chưa bị chiếm, Amy đi trước. Amy chỉ được đặt quân đỏ sao cho khoảng cách giữa mọi cặp vị trí có quân đỏ không bằng $\sqrt{5}$ . Ben được đặt quân xanh lên bất kỳ vị trí chưa bị chiếm nào, không bị hạn chế về khoảng cách. Họ dừng lại ngay khi một người không thể đặt quân. Tìm số lớn nhất $K$ sao cho Amy có thể bảo đảm đặt được ít nhất $K$ quân đỏ, bất kể Ben chơi thế nào.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $a_1,a_2,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên $N>1$ sao cho, với mọi $n\ge N$ , số $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_m=a_{m+1}$ với mọi $m\ge M$ .Các cách giải: 1
Bài 6Tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ . Điểm $X$ nằm trong $ABCD$ sao cho $\angle XAB=\angle XCD$ và $\angle XBC=\angle XDA$ . Chứng minh rằng $\angle BXA+\angle DXC=180^\circ$ .Các cách giải: 1