Bài 2

Tìm tất cả các số nguyên

n \ge 3

mà tồn tại các số thực

a_1, a_2, \ldots, a_n

thỏa mãn

a_{n+1}=a_1

a_{n+2}=a_2

, và

a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}

với

i=1,2,\ldots,n

Bước 2 trên 7: Mở rộng chỉ số và một đẳng thức tích

Bước trước Bước tiếp

a_{i+2}^2-a_{i+2}=a_ia_{i+3}-a_i

Phân tích chi tiết

Mở rộng $(a_i)$ ra mọi số nguyên $i$ bằng $a_{i+n}=a_i$ , phù hợp với $a_{n+1}=a_1$ và $a_{n+2}=a_2$ ; khi đó $a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}$ đúng với mọi số nguyên $i$ . Nhân hệ thức này với $a_{i+2}$ cho $a_ia_{i+1}a_{i+2}=a_{i+2}^2-a_{i+2}$ ; nhân hệ thức dịch chuyển $a_{i+1}a_{i+2}+1=a_{i+3}$ với $a_i$ cũng cho cùng tích đó, $a_ia_{i+1}a_{i+2}=a_ia_{i+3}-a_i$ . Cân bằng hai biểu thức ta được $a_{i+2}^2-a_{i+2}=a_ia_{i+3}-a_i$ với mọi số nguyên $i$ .