Bài 2

Tìm tất cả các số nguyên

n \ge 3

mà tồn tại các số thực

a_1, a_2, \ldots, a_n

thỏa mãn

a_{n+1}=a_1

a_{n+2}=a_2

, và

a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}

với

i=1,2,\ldots,n

Bước 3 trên 7: Lấy tổng vòng quanh hệ thức

Bước trước Bước tiếp

\sum_{i=1}^n a_i^2=\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}

Phân tích chi tiết

Lấy tổng hệ thức ở Bước 2 theo $i=1,\ldots,n$ . Vì phần mở rộng có chu kỳ $n$ , chỉ số $i+2$ chạy qua đúng $n$ giá trị như $i$ , nên $\sum_{i=1}^n a_{i+2}^2=\sum_{i=1}^n a_i^2$ và $\sum_{i=1}^n a_{i+2}=\sum_{i=1}^n a_i$ ; do đó các số hạng bậc nhất $-a_{i+2}$ ở vế trái và $-a_i$ ở vế phải của hệ thức đã lấy tổng triệt tiêu nhau, còn lại $\sum_{i=1}^n a_i^2=\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}$ .