Bài 2

Tìm tất cả các số nguyên

n \ge 3

mà tồn tại các số thực

a_1, a_2, \ldots, a_n

thỏa mãn

a_{n+1}=a_1

a_{n+2}=a_2

, và

a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}

với

i=1,2,\ldots,n

Bước 4 trên 7: Tổng bình phương triệt tiêu buộc chu kỳ

3

Bước trước Bước tiếp

\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i+3})^2=0\ \Longrightarrow\ a_i=a_{i+3}\ (1\le i\le n)

Phân tích chi tiết

Vì phần mở rộng có chu kỳ $n$ , ta cũng có $\sum_{i=1}^n a_{i+3}^2=\sum_{i=1}^n a_i^2$ . Khai triển $(a_i-a_{i+3})^2=a_i^2-2a_ia_{i+3}+a_{i+3}^2$ rồi lấy tổng theo $i=1,\ldots,n$ , hệ thức ở Bước 3 cho $\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i+3})^2=2\sum_{i=1}^n a_i^2-2\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}=0$ . Một tổng hữu hạn các bình phương số thực triệt tiêu chỉ khi mọi số hạng triệt tiêu, nên $a_i=a_{i+3}$ với mọi $i=1,\ldots,n$ (chỉ số lấy theo môđun $n$ ).