MathLabs

Bài 2

Tìm tất cả các số nguyên n≥3n \ge 3 mà tồn tại các số thực a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n thỏa mãn an+1=a1a_{n+1}=a_1, an+2=a2a_{n+2}=a_2, và aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2} với i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n.
Bước 5 trên 7: Nếu 3∤n3\nmid n thì dãy là hằng số
Bước trướcBước tiếp
gcd⁡(n,3)=1 ⟹ a1=a2=⋯=an\gcd(n,3)=1\ \Longrightarrow\ a_1=a_2=\cdots=a_n
Phân tích chi tiết

Hệ thức ai=ai+3a_i=a_{i+3} với mọi ii có nghĩa là aia_i chỉ phụ thuộc vào số dư của ii theo môđun gcd⁡(n,3)\gcd(n,3), vì việc dịch chỉ số liên tiếp thêm 33 theo môđun nn sẽ đi vòng đúng qua lớp số dư của nó theo môđun gcd⁡(n,3)\gcd(n,3) trước khi quay lại chính nó. Vì gcd⁡(n,3)∈{1,3}\gcd(n,3)\in\{1,3\}, trường hợp 3∤n3\nmid n buộc gcd⁡(n,3)=1\gcd(n,3)=1, nên mọi chỉ số đều nằm trong một lớp số dư duy nhất và a1=a2=⋯=ana_1=a_2=\cdots=a_n.