Math Labs

Bài 1

Cho Z\mathbb{Z} là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm số f ⁣:Z→Zf\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} sao cho, với mọi số nguyên aa và bb, f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).
Bước 1 trên 7: Đặt tên cho khẳng định
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Đặt tên cho phương trình giúp ta nhắc tới các phép thay thế cụ thể một cách gọn gàng.

P(a,b): f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))P(a,b):\ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))
Phân tích chi tiết

Gọi P(a, b) là khẳng định f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b)) với a, b là các số nguyên. Trước hết, ta nhận thấy hàm f đồng nhất bằng 0 và hàm f(x) = 2x + c với c là một số nguyên cố định đều thỏa mãn phương trình, và ta sẽ chứng minh đây là các nghiệm duy nhất bằng cách rút ra ngày càng nhiều cấu trúc từ P.