国際数学オリンピック · 2019年

問題

第1問 $\mathbb{Z}$ を整数全体の集合とする。すべての整数 $a$ 、 $b$ に対して $f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).$ を満たす関数 $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ をすべて求めよ。解答: 1
第2問三角形 $ABC$ において、点 $A_1$ は辺 $BC$ 上にあり、点 $B_1$ は辺 $AC$ 上にある。 $P$ と $Q$ をそれぞれ線分 $AA_1$ と $BB_1$ 上の点で、 $PQ$ が $AB$ に平行となるように取る。直線 $PB_1$ 上に点 $P_1$ を取り、 $B_1$ が $P$ と $P_1$ の間に厳密にあり、かつ $\angle PP_1C=\angle BAC$ となるようにする。同様に、直線 $QA_1$ 上に点 $Q_1$ を取り、 $A_1$ が $Q$ と $Q_1$ の間に厳密にあり、かつ $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ となるようにする。点 $P,Q,P_1,Q_1$ が同一円周上にあることを証明せよ。解答: 1
第3問SNS には $2019$ 人の利用者がおり、そのうちいくつかの組は友達である（友達関係は対称的である）。次のような出来事が繰り返し、一度に一つずつ起こってよい: $A$ が $B$ と $C$ の両方と友達であるが、 $B$ と $C$ は友達でない三人の利用者 $A$ 、 $B$ 、 $C$ が、友達関係を変更して $B$ と $C$ が友達になり、 $A$ は $B$ とも友達でなく、 $C$ とも友達でなくなるようにする。他のすべての友達関係は変わらない。最初、 $1010$ 人の利用者はそれぞれ $1009$ 人の友達を持ち、 $1009$ 人の利用者はそれぞれ $1010$ 人の友達を持つ。このような出来事の列の後に各利用者が高々一人の他の利用者と友達になるようにできることを証明せよ。解答: 1
第4問 $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).$ を満たす正の整数の組 $(k,n)$ をすべて求めよ。解答: 1
第5問Bath 銀行は片面が、もう片面がの硬貨を発行している。Harry はこの硬貨を枚、左から右へ一列に並べる。を示す硬貨がちょうど枚なら、左から枚目の硬貨を裏返す、という操作を繰り返す。それ以外、すなわち全てがのとき停止する。例えばでから始めるととなり、3 回の操作で停止する。(a) 初期配置ごとに Harry が有限回で停止することを示せ。(b) 初期配置に対し停止までの操作回数をとする。全ての個の初期配置にわたるの平均値を求めよ。 $H$ $T$ $n$ $k>0$ $H$ $k$ $T$ $n=3$ $THT$ $THT\to HHT\to HTT\to TTT$ $C$ $L(C)$ $L(C)$ $2^n$ 解答: 1
第6問を満たす鋭角三角形の内心をとする。の内接円はにそれぞれで接する。を通りに垂直な直線が以外でと再び交わる点をとする。直線が以外でと再び交わる点をとする。三角形との外接円は以外で再びで交わる。直線との交点が、を通りに垂直な直線上にあることを証明せよ。 $I$ $ABC$ $AB\ne AC$ $\omega$ $ABC$ $BC$ $CA$ $AB$ $D$ $E$ $F$ $D$ $EF$ $\omega$ $R$ $D$ $AR$ $\omega$ $P$ $R$ $PCE$ $PBF$ $Q$ $P$ $DI$ $PQ$ $A$ $AI$ 解答: 1