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第2問

三角形 ABCABC において、点 A1A_1 は辺 BCBC 上にあり、点 B1B_1 は辺 ACAC 上にある。PP と QQ をそれぞれ線分 AA1AA_1 と BB1BB_1 上の点で、PQPQ が ABAB に平行となるように取る。直線 PB1PB_1 上に点 P1P_1 を取り、B1B_1 が PP と P1P_1 の間に厳密にあり、かつ ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC となるようにする。同様に、直線 QA1QA_1 上に点 Q1Q_1 を取り、A1A_1 が QQ と Q1Q_1 の間に厳密にあり、かつ ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA となるようにする。点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 1/6: 補助点を導入する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

外接円とのもう一つの交点を導入すると、二本のセバ線と ABC の円周角の関係が結び付く。

Ω=(ABC),A2=(AA1∩Ω)∖{A},B2=(BB1∩Ω)∖{B}\Omega=(ABC),\qquad A_2=(AA_1\cap\Omega)\setminus\{A\},\qquad B_2=(BB_1\cap\Omega)\setminus\{B\}
詳しい解説

ABC の外接円を Ω とする。直線 AA_1 と Ω のもう一つの交点を A_2、直線 BB_1 と Ω のもう一つの交点を B_2 とする。すると A,P,A_1,A_2 は一直線上にあり、B,Q,B_1,B_2 も一直線上にあり、さらに A,B,A_2,B_2 はすべて Ω 上にある。