Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2020

Đề thi

Bài 1Cho tứ giác lồi $ABCD$ . Điểm $P$ nằm trong $ABCD$ . Các đẳng thức tỉ số sau đây đúng: $\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC$ . Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy: đường phân giác trong của các góc $\angle ADP$ và $\angle PCB$ , và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $a$ , $b$ , $c$ , $d$ là các số thực thỏa mãn $a \ge b \ge c \ge d > 0$ và $a+b+c+d=1$ . Chứng minh rằng $(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1$ .Các cách giải: 1
Bài 3Có $4n$ viên sỏi với khối lượng $1, 2, 3, \ldots, 4n$ . Mỗi viên sỏi được tô một trong $n$ màu, và có đúng bốn viên sỏi mỗi màu. Chứng minh rằng có thể chia các viên sỏi thành hai đống sao cho tổng khối lượng của hai đống bằng nhau và mỗi đống chứa đúng hai viên sỏi mỗi màu.Các cách giải: 1
Bài 4Cho số nguyên $n > 1$ . Có $n^2$ trạm trên một sườn núi, tất cả ở các độ cao khác nhau. Mỗi công ty cáp treo trong hai công ty $A$ và $B$ vận hành $k$ cáp treo; mỗi cáp treo đưa khách từ một trạm tới một trạm cao hơn, không dừng ở giữa. $k$ cáp treo của $A$ có $k$ điểm xuất phát khác nhau và $k$ điểm đến khác nhau, và cáp treo nào xuất phát cao hơn thì cũng đến nơi cao hơn. Điều kiện tương tự cũng đúng với $B$ . Hai trạm được gọi là được nối bởi một công ty nếu có thể xuất phát từ trạm thấp hơn và tới được trạm cao hơn bằng cách dùng một hoặc nhiều cáp treo của công ty đó, không được di chuyển giữa các trạm bằng cách nào khác. Hãy xác định số nguyên dương nhỏ nhất $k$ để có thể đảm bảo luôn tồn tại hai trạm được nối bởi cả hai công ty.Các cách giải: 1
Bài 5Cho một bộ gồm $n>1$ tấm thẻ. Trên mỗi thẻ viết một số nguyên dương. Bộ thẻ có tính chất: trung bình cộng của các số trên mỗi cặp thẻ cũng là trung bình nhân của các số trên một tập gồm một hoặc nhiều thẻ. Với những giá trị nào của $n$ thì suy ra các số trên các thẻ đều bằng nhau?Các cách giải: 1
Bài 6Cho số nguyên $n>1$ và tập $S$ gồm $n$ điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kỳ của $S$ ít nhất bằng $1$ . Chứng minh rằng có một đường thẳng $\ell$ phân tách $S$ sao cho khoảng cách từ mọi điểm của $S$ đến $\ell$ ít nhất bằng $c n^{-1/3}$ với một hằng số tuyệt đối $c>0$ . (Đường thẳng $\ell$ phân tách một tập điểm $S$ nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm của $S$ cắt $\ell$ .)Các cách giải: 1