MathLabs

第1問

凸四角形 ABCDABCD を考える。点 PP は ABCDABCD の内部にある。次の比の等式が成り立つ：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC。次の三直線が一点で交わることを証明せよ：角 ∠ADP\angle ADP と ∠PCB\angle PCB の内角の二等分線、および線分 ABAB の垂直二等分線。
ステップ 1/6: 与えられた二つの比から角に名前を付ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

それぞれの比 1:2:31:2:3 は一つの未知数を一意に定め、仮定を、角がすべて一つのパラメータの倍数である二つの三角形に変換する。

α=∠PAD, 2α=∠PBA, 3α=∠DPA;β=∠CBP, 2β=∠BAP, 3β=∠BPC\alpha=\angle PAD,\ 2\alpha=\angle PBA,\ 3\alpha=\angle DPA;\qquad \beta=\angle CBP,\ 2\beta=\angle BAP,\ 3\beta=\angle BPC
詳しい解説

第一の比から ∠PAD=α\angle PAD=\alpha、∠PBA=2α\angle PBA=2\alpha、∠DPA=3α\angle DPA=3\alpha とおき、第二の比から ∠CBP=β\angle CBP=\beta、∠BAP=2β\angle BAP=2\beta、∠BPC=3β\angle BPC=3\beta とおく。ただし α,β>0\alpha,\beta>0 である。