国際数学オリンピック · 2020年

問題

第1問凸四角形 $ABCD$ を考える。点 $P$ は $ABCD$ の内部にある。次の比の等式が成り立つ： $\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC$ 。次の三直線が一点で交わることを証明せよ：角 $\angle ADP$ と $\angle PCB$ の内角の二等分線、および線分 $AB$ の垂直二等分線。解答: 1
第2問 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ を $a \ge b \ge c \ge d > 0$ かつ $a+b+c+d=1$ を満たす実数とする。 $(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1$ を証明せよ。解答: 1
第3問 $4n$ 個の小石があり、重さはそれぞれ $1, 2, 3, \ldots, 4n$ である。各小石は $n$ 色のいずれか一色で塗られており、各色の小石はちょうど4個ずつある。石を二つの山に分けて、両方の山の総重量が等しく、かつそれぞれの山に各色の石がちょうど2個ずつ含まれるようにできることを示せ。解答: 1
第4問整数 $n > 1$ が与えられている。山の斜面に $n^2$ 個の駅があり、すべて異なる高度にある。二つのケーブルカー会社 $A$ と $B$ はそれぞれ $k$ 台のケーブルカーを運行しており、各ケーブルカーはある駅から、途中で止まることなく、より高い駅へ利用客を運ぶ。 $A$ の $k$ 台のケーブルカーは $k$ 個の異なる出発点と $k$ 個の異なる到着点を持ち、より高い場所から出発するケーブルカーはより高い場所に到着する。同じ条件が $B$ についても成り立つ。ある会社によって2つの駅が結ばれているとは、低い方の駅から出発し、その会社のケーブルカーを1台以上使って、駅間の他の移動を一切行わずに、高い方の駅に到達できることをいう。両方の会社によって結ばれる2つの駅が存在することを保証できる、最小の正の整数 $k$ を求めよ。解答: 1
第5問 $n>1$ 枚のカードからなる束が与えられている。各カードには正の整数が一つ書かれている。この束は次の性質を持つ：任意の2枚のカードの数の相加平均は、1枚以上のカードからなるある集合の数の相乗平均でもある。どのような $n$ に対して、カード上の数がすべて等しいことが導かれるか。解答: 1
第6問整数 $n>1$ と、平面上の $n$ 点からなる集合 $S$ を考える。 $S$ の異なる2点間の距離はすべて少なくとも $1$ とする。ある絶対定数 $c>0$ に対して、 $S$ を分離する直線 $\ell$ で、 $S$ の任意の点から $\ell$ までの距離が少なくとも $c n^{-1/3}$ となるものが存在することを証明せよ。（直線 $\ell$ が点集合 $S$ を分離するとは、 $S$ の2点を結ぶある線分が $\ell$ と交わることである。）解答: 1