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国際数学オリンピック · 2021年

問題

  1. 第1問n≥100n \ge 100 を整数とする。イヴァンは数 n,n+1,…,2nn, n+1, \ldots, 2n をそれぞれ異なるカードに書く。そして、これら n+1n+1 枚のカードをシャッフルして二つの山に分ける。少なくとも一方の山に、書かれた数の和が平方数になる二枚のカードが含まれることを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問すべての実数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n に対して、不等式 ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣≤∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|} が成り立つことを示せ。解答: 1
  3. 第3問鋭角三角形 ABCABC（AB>ACAB>AC）の内部の点 DD が ∠DAB=∠CAD\angle DAB=\angle CAD を満たすとする。線分 ACAC 上の点 EE は ∠ADE=∠BCD\angle ADE=\angle BCD を、線分 ABAB 上の点 FF は ∠FDA=∠DBC\angle FDA=\angle DBC を満たし、直線 ACAC 上の点 XX は CX=BXCX=BX を満たす。三角形 ADCADC と EXDEXD の外心をそれぞれ O1O_1、O2O_2 とする。直線 BCBC、EFEF、O1O2O_1O_2 が一点で交わることを証明せよ。解答: 1
  4. 第4問II を中心とする円 Γ\Gamma があり、ABCDABCD は辺 ABAB、BCBC、CDCD、DADA がいずれも Γ\Gamma に接する凸四角形であるとする。Ω\Omega を三角形 AICAIC の外接円とする。BABA を AA の先へ延長すると Ω\Omega と点 XX で交わり、BCBC を CC の先へ延長すると Ω\Omega と点 ZZ で交わる。ADAD と CDCD をそれぞれ DD の先へ延長すると Ω\Omega と点 YY、TT で交わる。次の等式を証明せよ。 AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.解答: 1
  5. 第5問リス Bushy と Jumpy は冬に備えて 20212021 個のクルミを集めた。Jumpy はクルミに 11 から 20212021 まで番号をつけ、お気に入りの木の周りに円形に 20212021 個の小さな穴を掘った。翌朝、Jumpy は Bushy が各穴にクルミを一つずつ入れたものの、番号を気にしていなかったことに気づいた。不満に思った Jumpy は、20212021 回の操作からなる手順でクルミを並べ替えることにした。kk 回目の操作では、Jumpy はクルミ kk に隣接する二つのクルミの位置を入れ替える。ある kk が存在して、kk 回目の操作で入れ替えるクルミ aa と bb が a<k<ba<k<b を満たすことを証明せよ。解答: 1
  6. 第6問m≥2m\ge2 を整数とし、AA を（正とは限らない）整数からなる有限集合、B1,B2,B3,…,BmB_1,B_2,B_3,\ldots,B_m を AA の部分集合とする。すべての k=1,2,…,mk=1,2,\ldots,m について BkB_k の元の和が mkm^k であるとする。AA が少なくとも m/2m/2 個の元を含むことを証明せよ。解答: 1