Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2021

Đề thi

Bài 1Cho $n \ge 100$ là một số nguyên. Ivan viết các số $n, n+1, \ldots, 2n$ , mỗi số trên một tấm thẻ khác nhau. Sau đó, cậu xáo trộn $n+1$ tấm thẻ này rồi chia chúng thành hai chồng. Chứng minh rằng ít nhất một chồng chứa hai tấm thẻ có tổng bằng một số chính phương.Các cách giải: 1
Bài 2Chứng minh rằng bất đẳng thức $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\le\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$ đúng với mọi số thực $x_1,x_2,\ldots,x_n$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $D$ là một điểm nằm trong tam giác nhọn $ABC$ với $AB>AC$ sao cho $\angle DAB=\angle CAD$ . Điểm $E$ trên đoạn $AC$ thỏa $\angle ADE=\angle BCD$ , điểm $F$ trên đoạn $AB$ thỏa $\angle FDA=\angle DBC$ , và điểm $X$ trên đường thẳng $AC$ thỏa $CX=BX$ . Gọi $O_1$ và $O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADC$ và $EXD$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $BC$ , $EF$ và $O_1O_2$ đồng quy.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $\Gamma$ là một đường tròn tâm $I$ , và $ABCD$ là một tứ giác lồi sao cho mỗi đoạn $AB$ , $BC$ , $CD$ và $DA$ đều tiếp xúc với $\Gamma$ . Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$ . Phần kéo dài của $BA$ qua $A$ cắt $\Omega$ tại $X$ , và phần kéo dài của $BC$ qua $C$ cắt $\Omega$ tại $Z$ . Các phần kéo dài của $AD$ và $CD$ qua $D$ lần lượt cắt $\Omega$ tại $Y$ và $T$ . Chứng minh rằng $AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.$ Các cách giải: 1
Bài 5Hai chú sóc, Bushy và Jumpy, đã thu thập được $2021$ hạt óc chó cho mùa đông. Jumpy đánh số các hạt từ $1$ đến $2021$ và đào $2021$ cái hố nhỏ xếp thành vòng tròn quanh cây yêu thích của chúng. Sáng hôm sau, Jumpy nhận thấy Bushy đã đặt mỗi hố một hạt, nhưng không để ý đến thứ tự đánh số. Không hài lòng, Jumpy quyết định sắp xếp lại các hạt bằng cách thực hiện một dãy $2021$ lượt đổi chỗ. Ở lượt thứ $k$ , Jumpy đổi chỗ hai hạt kề với hạt số $k$ . Chứng minh rằng tồn tại một giá trị $k$ sao cho, ở lượt thứ $k$ , Jumpy đổi chỗ hai hạt $a$ và $b$ với $a<k<b$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $m\ge2$ là một số nguyên, $A$ là một tập hữu hạn các số nguyên (không nhất thiết dương), và $B_1,B_2,B_3,\ldots,B_m$ là các tập con của $A$ . Giả sử với mọi $k=1,2,\ldots,m$ , tổng các phần tử của $B_k$ bằng $m^k$ . Chứng minh rằng $A$ chứa ít nhất $m/2$ phần tử.Các cách giải: 1