Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2022

Đề thi

Bài 1Ngân hàng Oslo phát hành hai loại xu: nhôm (ký hiệu $A$ ) và đồng (ký hiệu $B$ ). Marianne có $n$ xu nhôm và $n$ xu đồng xếp thành một hàng theo một thứ tự ban đầu bất kỳ. Một chuỗi là bất kỳ dãy con nào gồm các xu liên tiếp cùng loại. Với một số nguyên dương cố định $k\le2n$ , Marianne liên tục thực hiện thao tác sau: xác định chuỗi dài nhất chứa xu thứ $k$ từ trái sang, rồi chuyển tất cả các xu trong chuỗi đó về đầu bên trái của hàng. Tìm tất cả các cặp $(n,k)$ với $1\le k\le2n$ sao cho với mọi thứ tự ban đầu, tại một thời điểm nào đó trong quá trình, $n$ xu ngoài cùng bên trái đều cùng một loại.Các cách giải: 1
Bài 2Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ sao cho với mỗi $x\in\mathbb{R}^+$ , tồn tại đúng một $y\in\mathbb{R}^+$ thỏa $xf(y)+yf(x)\le2$ Các cách giải: 1
Bài 3Cho $k$ là một số nguyên dương và $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng có nhiều nhất một cách (sai khác phép quay và phép đối xứng) để xếp các phần tử của $S$ quanh một vòng tròn sao cho tích của hai phần tử kề nhau bất kỳ có dạng $x^2+x+k$ với một số nguyên dương $x$ nào đó.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi với $BC=DE$ . Giả sử tồn tại điểm $T$ nằm trong $ABCDE$ sao cho $TB=TD$ , $TC=TE$ và $\angle ABT=\angle TEA$ . Gọi đường thẳng $AB$ cắt các đường thẳng $CD$ và $CT$ lần lượt tại các điểm $P$ và $Q$ , với thứ tự $P,B,A,Q$ trên đường thẳng đó. Gọi đường thẳng $AE$ cắt các đường thẳng $CD$ và $DT$ lần lượt tại các điểm $R$ và $S$ , với thứ tự $R,E,A,S$ trên đường thẳng đó. Chứng minh rằng các điểm $P$ , $S$ , $Q$ , $R$ cùng nằm trên một đường tròn.Các cách giải: 1
Bài 5Tìm tất cả các bộ ba $(a,b,p)$ gồm các số nguyên dương với $p$ là số nguyên tố và $a^p=b!+p$ Các cách giải: 1
Bài 6Cho $n$ là một số nguyên dương. Một hình vuông Bắc Âu là một bảng $n\times n$ chứa tất cả các số nguyên từ $1$ đến $n^2$ sao cho mỗi ô chứa đúng một số. Một đường lên dốc là một dãy gồm một hoặc nhiều ô sao cho: (a) ô đầu tiên trong dãy là một thung lũng, nghĩa là số ghi ở đó nhỏ hơn tất cả các ô kề trực giao với nó; (b) mỗi ô tiếp theo trong dãy kề trực giao với ô trước đó; và (c) các số ghi trong các ô của dãy tăng dần. Tìm, theo hàm của $n$ , tổng số đường lên dốc nhỏ nhất có thể trong một hình vuông Bắc Âu.Các cách giải: 1