Math Labs

Bài 3

Cho kk là một số nguyên dương và SS là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng có nhiều nhất một cách (sai khác phép quay và phép đối xứng) để xếp các phần tử của SS quanh một vòng tròn sao cho tích của hai phần tử kề nhau bất kỳ có dạng x2+x+kx^2+x+k với một số nguyên dương xx nào đó.
Bước 1 trên 6: Gọi một số là tốt và cho phép x≥0x\ge0
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Phép thế x↦−1−xx\mapsto-1-x giữ nguyên x2+x+kx^2+x+k, nên giới hạn ở xx dương hay xx không âm mô tả cùng một tập giá trị.

n good  ⟺  n=x2+x+k, x∈Z≥0n\ \text{good}\iff n=x^2+x+k,\ x\in\mathbb{Z}_{\ge0}
Phân tích chi tiết

Vì (−1−x)2+(−1−x)+k=x2+x+k(-1-x)^2+(-1-x)+k=x^2+x+k, việc gọi nn là tốt khi n=x2+x+kn=x^2+x+k với một số nguyên không âm xx nào đó mô tả chính xác cùng những số như khi yêu cầu xx nguyên dương; ta dùng quy ước không âm cho tiện lợi.