Math Labs

Bài 5

Tìm tất cả các bộ ba (a,b,p)(a,b,p) gồm các số nguyên dương với pp là số nguyên tố và ap=b!+pa^p=b!+p
Bước 6 trên 6: Loại trừ p≥5p\ge5 bằng một số nguyên tố Zsigmondy
Bước trướcBước tiếp
b!=pp−p=p(p−1)(1+p+⋯+pp−2)b!=p^p-p=p(p-1)(1+p+\cdots+p^{p-2})
Phân tích chi tiết

Với p≥5p\ge5, viết b!=p(pp−1−1)=p(p−1)(1+p+⋯+pp−2)b!=p(p^{p-1}-1)=p(p-1)(1+p+\cdots+p^{p-2}). Theo định lý Zsigmondy, pp−1−1p^{p-1}-1 có ước nguyên tố nguyên thủy qq; cấp nhân của p modulo qq là p−1p-1, nên q≡1(modp−1)q\equiv1\pmod{p-1}. Do đó q≥2p−1>2p−2≥bq\ge2p-1>2p-2\ge b và q≠pq\ne p, mâu thuẫn với q∣b!q\mid b!. Vì vậy không có nghiệm khi p≥5p\ge5.