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第1問

次の性質を満たすすべての合成数 n>1n>1 を求めよ:d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k を nn のすべての正の約数とし、1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n とする。このとき、すべての 1≤i≤k−21\le i\le k-2 に対して did_i は di+1+di+2d_{i+1}+d_{i+2} を割り切る。
ステップ 2/3: 第二の素因数が隙間を作る
ざっくり言うと

n が二つの異なる素因数を持つ場合、最小の約数は大きい方の素因数が現れるまで小さい方の素因数のべき乗を辿ることになり、di↔n/did_i\leftrightarrow n/d_i という対応付けによって同じ隙間が最大の約数の側にも再現される。

d1=1,…,de+1=pe, de+2=qd_1=1,\ldots,d_{e+1}=p^e,\ d_{e+2}=q
詳しい解説

nn が少なくとも二つの異なる素因数を持つとし、p<qp<q をその中で最小の二つとする。pep^e を、pe<qp^e<q を満たす、nn を割り切る pp の最大べきとする(したがって e≥1e\ge1)。nn の約数で pep^e と qq の間に厳密に入るものは存在しないので、nn の最小の約数は 1,p,…,pe,q1,p,\ldots,p^e,q である。すべての ii に対して didk+1−i=nd_id_{k+1-i}=n が成り立つので、nn のすぐ下の約数はこのパターンを反映し、dk=n, dk−1=n/p,…,dk−e=n/pe, dk−e−1=n/qd_k=n,\ d_{k-1}=n/p,\ldots,d_{k-e}=n/p^e,\ d_{k-e-1}=n/q となる。