国際数学オリンピック · 2023年

問題

第1問次の性質を満たすすべての合成数 $n>1$ を求めよ： $d_1, d_2, \ldots, d_k$ を $n$ のすべての正の約数とし、 $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ とする。このとき、すべての $1\le i\le k-2$ に対して $d_i$ は $d_{i+1}+d_{i+2}$ を割り切る。解答: 1
第2問 $ABC$ を $AB<AC$ を満たす鋭角三角形とする。 $\Omega$ を $ABC$ の外接円とする。 $S$ を $A$ を含む $\Omega$ の弧 $CB$ の中点とする。 $A$ から $BC$ への垂線は $BS$ と点 $D$ で交わり、 $\Omega$ と再び点 $E\neq A$ で交わる。 $D$ を通り $BC$ に平行な直線は直線 $BE$ と点 $L$ で交わる。三角形 $BDL$ の外接円を $\omega$ とする。 $\omega$ が $\Omega$ と再び交わる点を $P\neq B$ とする。 $P$ における $\omega$ の接線が直線 $BS$ と交わる点は $\angle BAC$ の内角の二等分線上にあることを証明せよ。解答: 1
第3問各整数 $k\ge2$ に対して、次を満たす多項式 $P$ が存在するような正整数の無限数列 $a_1,a_2,\ldots$ をすべて決定せよ： $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ の形をしており、 $c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}$ は非負整数であって、すべての整数 $n\ge1$ に対して $P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$ が成り立つ。解答: 1
第4問 $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ を互いに異なる正の実数とし、すべての $n=1,2,\ldots,2023$ に対して $a_n=(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)$ が整数であるとする。このとき $a_{2023}\ge3034$ であることを証明せよ。解答: 1
第5問 $n$ を正の整数とする。日本三角形とは、正三角形状に並んだ $1+2+\cdots+n$ 個の円からなり、各 $i=1,2,\ldots,n$ に対して第 $i$ 行にはちょうど $i$ 個の円があり、そのうちちょうど一つが赤く塗られているものである。日本三角形における忍者経路とは、最上段から出発し、ある円からその真下にある二つの円のいずれか一方へ進むことを繰り返して最下段で終わる、 $n$ 個の円からなる列である。 $n$ を用いて、どの日本三角形にも赤い円を少なくとも $k$ 個含む忍者経路が存在するような最大の $k$ を求めよ。解答: 1
第6問 $ABC$ を正三角形とする。 $A_1,B_1,C_1$ を三角形 $ABC$ の内部の点とし、 $BA_1=A_1C$ 、 $CB_1=B_1A$ 、 $AC_1=C_1B$ 、かつ $\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$ を満たすとする。 $A_2=BC_1\cap CB_1$ 、 $B_2=CA_1\cap AC_1$ 、 $C_2=AB_1\cap BA_1$ とする。三角形 $A_1B_1C_1$ が不等辺三角形であるならば、三角形 $AA_1A_2$ 、 $BB_1B_2$ 、 $CC_1C_2$ の外接円がすべて共通の2点を通ることを証明せよ。解答: 1