MathLabs

Bài 1

Xác định tất cả các số nguyên hợp n>1n>1 thỏa mãn tính chất sau: nếu d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k là tất cả các ước số dương của nn với 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n, thì did_i chia hết di+1+di+2d_{i+1}+d_{i+2} với mọi 1≤i≤k−21\le i\le k-2.
Bước 3 trên 3: Điều kiện dây chuyền buộc phải có một tỉ số không thể tồn tại
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Thay các ước đối xứng vào điều kiện chia hết cần có biến toàn bộ bài toán thành việc kiểm tra xem một phân số cụ thể có phải là số nguyên hay không, và nó không bao giờ là số nguyên.

q(p+1)pe∈Z\dfrac{q(p+1)}{p^e}\in\mathbb{Z}
Phân tích chi tiết

Áp dụng tính chất tại chỉ số i=k−e−1i=k-e-1: dk−e−1∣dk−e+dk−e+1d_{k-e-1}\mid d_{k-e}+d_{k-e+1} có nghĩa là nq∣npe+npe−1=n(p+1)pe\frac nq \mid \frac n{p^e}+\frac n{p^{e-1}}=\frac{n(p+1)}{p^e}. Chia cả hai vế cho n/pen/p^e (tính chia hết tương đương với việc tỉ số kết quả là số nguyên) cho thấy q(p+1)pe\frac{q(p+1)}{p^e} phải là số nguyên. Nhưng gcd⁡(p,q)=1\gcd(p,q)=1 và gcd⁡(p,p+1)=1\gcd(p,p+1)=1, nên pep^e không thể chia hết q(p+1)q(p+1) một khi e≥1e\ge1 — mâu thuẫn. Vậy nn chỉ có một ước nguyên tố, nên cùng với Bước 1, các số nguyên hợp có tính chất này chính xác là các lũy thừa của số nguyên tố n=pr, r≥2n=p^r,\ r\ge2.