Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2023

Đề thi

Bài 1Xác định tất cả các số nguyên hợp $n>1$ thỏa mãn tính chất sau: nếu $d_1, d_2, \ldots, d_k$ là tất cả các ước số dương của $n$ với $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ , thì $d_i$ chia hết $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $1\le i\le k-2$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $ABC$ là tam giác nhọn với $AB<AC$ . Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp $ABC$ . Gọi $S$ là điểm chính giữa cung $CB$ của $\Omega$ chứa $A$ . Đường vuông góc từ $A$ đến $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt $\Omega$ lần nữa tại $E\neq A$ . Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $BE$ tại $L$ . Ký hiệu đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDL$ là $\omega$ . Gọi $\omega$ cắt $\Omega$ lần nữa tại $P\neq B$ . Chứng minh rằng tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$ cắt đường thẳng $BS$ trên đường phân giác trong của góc $\angle BAC$ .Các cách giải: 1
Bài 3Với mỗi số nguyên $k\ge2$ , hãy xác định tất cả các dãy số nguyên dương vô hạn $a_1,a_2,\ldots$ sao cho tồn tại một đa thức $P$ có dạng $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ , trong đó $c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}$ là các số nguyên không âm, thỏa mãn $P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$ với mọi số nguyên $n\ge1$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ là các số thực dương đôi một khác nhau sao cho $a_n=(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)$ là số nguyên với mọi $n=1,2,\ldots,2023$ . Chứng minh rằng $a_{2023}\ge3034$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $n$ là một số nguyên dương. Một tam giác Nhật Bản gồm $1+2+\cdots+n$ hình tròn được sắp xếp thành hình tam giác đều sao cho với mỗi $i=1,2,\ldots,n$ , hàng thứ $i$ có đúng $i$ hình tròn, trong đó đúng một hình được tô màu đỏ. Một đường đi ninja trong tam giác Nhật Bản là một dãy gồm $n$ hình tròn thu được bằng cách xuất phát từ hàng trên cùng, sau đó liên tiếp đi từ một hình tròn tới một trong hai hình tròn ngay bên dưới nó, và kết thúc ở hàng dưới cùng. Theo $n$ , hãy tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho trong mọi tam giác Nhật Bản luôn có một đường đi ninja chứa ít nhất $k$ hình tròn đỏ.Các cách giải: 1
Bài 6Cho $ABC$ là một tam giác đều. Gọi $A_1,B_1,C_1$ là các điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $BA_1=A_1C$ , $CB_1=B_1A$ , $AC_1=C_1B$ , và $\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$ . Gọi $A_2=BC_1\cap CB_1$ , $B_2=CA_1\cap AC_1$ , $C_2=AB_1\cap BA_1$ . Chứng minh rằng nếu tam giác $A_1B_1C_1$ là tam giác thường (không cân), thì các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $AA_1A_2$ , $BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ đều đi qua hai điểm chung.Các cách giải: 1