第3問

各整数

k\ge2

に対して、次を満たす多項式

P

が存在するような正整数の無限数列

a_1,a_2,\ldots

をすべて決定せよ：

P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0

の形をしており、

c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}

は非負整数であって、すべての整数

n\ge1

に対して

P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}

が成り立つ。

ステップ 1/6: 等差数列は条件を満たす

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

各項が一定の増分 d で増加するなら、a_n の直後にある k 個の項は、a_n に d の最初の k 個の倍数を加えたものにすぎないので、それらの積は a_n で評価した固定の多項式になる。

a_n=a_1+(n-1)d\implies P(x)=\prod_{j=1}^k(x+jd)

詳しい解説

整数 $d\ge0$ に対して $a_n=a_1+(n-1)d$ とすると、 $a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}=(a_n+d)(a_n+2d)\cdots(a_n+kd)$ となるので、 $P(x)=(x+d)(x+2d)\cdots(x+kd)$ が条件を満たし、 $d\ge0$ であるから最高次係数以外の係数もすべて非負である。