Bài 3

Với mỗi số nguyên

k\ge2

, hãy xác định tất cả các dãy số nguyên dương vô hạn

a_1,a_2,\ldots

sao cho tồn tại một đa thức

P

có dạng

P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0

, trong đó

c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}

là các số nguyên không âm, thỏa mãn

P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}

với mọi số nguyên

n\ge1

Bước 1 trên 6: Cấp số cộng thỏa mãn

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Nếu các số hạng tăng theo một bước cố định d, thì k số hạng ngay sau a_n chỉ đơn giản là a_n cộng với k bội số đầu tiên của d, nên tích của chúng là một đa thức cố định tính tại a_n.

a_n=a_1+(n-1)d\implies P(x)=\prod_{j=1}^k(x+jd)

Phân tích chi tiết

Nếu $a_n=a_1+(n-1)d$ với số nguyên $d\ge0$ , thì $a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}=(a_n+d)(a_n+2d)\cdots(a_n+kd)$ , nên $P(x)=(x+d)(x+2d)\cdots(x+kd)$ thỏa mãn, và các hệ số của nó ngoài hệ số dẫn đầu đều không âm vì $d\ge0$ .