MathLabs

第4問

x1,x2,…,x2023x_1,x_2,\ldots,x_{2023} を互いに異なる正の実数とし、すべての n=1,2,…,2023n=1,2,\ldots,2023 に対して an=(x1+x2+⋯+xn)(1x1+1x2+⋯+1xn)a_n=(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right) が整数であるとする。このとき a2023≥3034a_{2023}\ge3034 であることを証明せよ。
ステップ 1/3: 基本ケース
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

項が1つだけのとき、和と逆数の和はそれぞれ単に x_1 と 1/x_1 であり、その積は常にちょうど1になる。

a1=1a_1=1
詳しい解説

n=1n=1 のとき、a1=x1⋅1x1=1a_1=x_1\cdot\frac1{x_1}=1 となり、これは確かに整数であり、帰納法の出発値を与える。