Bài 2

Với những cặp số nguyên dương

(a,b)

nào thì dãy

\gcd(a^n+b,b^n+a)

n=1,2,\ldots

, cuối cùng trở thành hằng số?

Bước 1 trên 5: Cặp (1,1) hiển nhiên thỏa mãn

Hiểu nôm na

Với $a=b=1$ , mọi số hạng của dãy đều tầm thường bằng cùng một số cố định, nên dãy là hằng số ngay từ số hạng đầu tiên.

(a,b)=(1,1)\implies\gcd(1^n+1,1^n+1)=2

Phân tích chi tiết

Nếu $a=b=1$ , thì $\gcd(a^n+b,b^n+a)=\gcd(2,2)=2$ với mọi $n$ , nên dãy là hằng số (thậm chí là hằng số ngay từ đầu, chứ không chỉ về sau).