MathLabs

Bài 6

Một hàm f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q được gọi là aquaesulian nếu tính chất sau đây đúng: với mọi x,y∈Qx,y\in\mathbb Q, ta có f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y hoặc f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y). Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên cc sao cho với mọi hàm aquaesulian ff, có nhiều nhất cc số hữu tỉ khác nhau có dạng f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) với rr là một số hữu tỉ nào đó, và tìm giá trị nhỏ nhất có thể của cc.
Bước 1 trên 5: Ký hiệu và trường hợp luôn đúng x đến x
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Đặt tên cho quan hệ này giúp giả thiết của bài toán được đọc là "với mọi cặp, ít nhất một chiều đúng", và việc lấy hai biến bằng nhau luôn thỏa mãn quan hệ này một cách hiển nhiên.

x→y:  ⟺  f(x+f(y))=f(x)+yx\to y:\iff f(x+f(y))=f(x)+y
Phân tích chi tiết

Viết x→yx\to y để chỉ f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y; điều kiện của bài toán nói rằng với mọi x,yx,y, ít nhất một trong x→yx\to y hoặc y→xy\to x đúng. Lấy y=xy=x ta hiển nhiên có x→xx\to x, tức là f(x+f(x))=x+f(x)f(x+f(x))=x+f(x) với mọi xx.