MathLabs

Bài 6

Một hàm f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q được gọi là aquaesulian nếu tính chất sau đây đúng: với mọi x,y∈Qx,y\in\mathbb Q, ta có f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y hoặc f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y). Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên cc sao cho với mọi hàm aquaesulian ff, có nhiều nhất cc số hữu tỉ khác nhau có dạng f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) với rr là một số hữu tỉ nào đó, và tìm giá trị nhỏ nhất có thể của cc.
Bước 3 trên 5: f là đơn ánh
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nếu hai đầu vào cho cùng một đầu ra, thì việc áp dụng quan hệ theo chiều nào đúng giữa chúng sẽ ngay lập tức buộc hai đầu vào phải bằng nhau, vì số hạng thêm vào chính là hiệu giữa hai đầu vào đó.

f(a)=f(b)  ⟹  a=bf(a)=f(b)\implies a=b
Phân tích chi tiết

Giả sử f(a)=f(b)f(a)=f(b); không mất tính tổng quát, giả sử a→ba\to b, khi đó f(a)+a=f(a+f(a))=f(a+f(b))=f(a)+bf(a)+a=f(a+f(a))=f(a+f(b))=f(a)+b, suy ra a=ba=b. Vậy ff là đơn ánh.