MathLabs

Bài 1

Một đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là đường thẳng nắng nếu nó không song song với trục xx, trục yy, hoặc đường thẳng x+y=0x+y=0. Cho n≥3n\ge3 là một số nguyên cho trước. Hãy xác định tất cả các số nguyên không âm kk sao cho tồn tại nn đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng thỏa mãn đồng thời: với mọi số nguyên dương aa và bb thỏa a+b≤n+1a+b\le n+1, điểm (a,b)(a,b) nằm trên ít nhất một trong các đường thẳng đó; và đúng kk trong số nn đường thẳng là đường thẳng nắng.
Bước 1 trên 6: Chỉ có ba hướng bị cấm
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Một đường không nắng song song với đúng một trong ba hướng, nên ba cạnh của lưới tam giác đương nhiên không nắng.

n≥4 ⟹ 2n≥3(n−1) fails, so a long line is forcedn\ge4\ \Longrightarrow\ 2n\ge3(n-1)\ \text{fails, so a long line is forced}
Phân tích chi tiết

Gọi một đường thẳng là dài nếu nó đi qua cả nn điểm trên một trong ba cạnh ngoài của lưới tam giác {(a,b):a,b≥1,a+b≤n+1}\{(a,b): a,b\ge1, a+b\le n+1\} (các cạnh này nằm trên a=1a=1, b=1b=1, và a+b=n+1a+b=n+1, đúng là ba hướng bị cấm). Có 3(n−1)3(n-1) điểm trên biên ngoài; nếu không đường nào trong nn đường là dài, mỗi đường gặp biên này tại nhiều nhất 22 điểm, cho 2n≥3(n−1)2n\ge3(n-1), buộc n≤3n\le3. Vậy với n≥4n\ge4, mọi họ nn đường hợp lệ đều chứa ít nhất một đường dài.