Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2025

Đề thi

Bài 1Một đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là đường thẳng nắng nếu nó không song song với trục $x$ , trục $y$ , hoặc đường thẳng $x+y=0$ . Cho $n\ge3$ là một số nguyên cho trước. Hãy xác định tất cả các số nguyên không âm $k$ sao cho tồn tại $n$ đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng thỏa mãn đồng thời: với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa $a+b\le n+1$ , điểm $(a,b)$ nằm trên ít nhất một trong các đường thẳng đó; và đúng $k$ trong số $n$ đường thẳng là đường thẳng nắng.Các cách giải: 1
Bài 2Cho $\Omega$ và $\Gamma$ là hai đường tròn có tâm lần lượt là $M$ và $N$ , sao cho bán kính của $\Omega$ nhỏ hơn bán kính của $\Gamma$ . Giả sử hai đường tròn $\Omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Đường thẳng $MN$ cắt $\Omega$ tại $C$ và cắt $\Gamma$ tại $D$ , sao cho các điểm $C$ , $M$ , $N$ và $D$ nằm trên đường thẳng đó theo đúng thứ tự này. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ . Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Omega$ tại $E\ne A$ . Đường thẳng $AP$ cắt lại $\Gamma$ tại $F\ne A$ . Gọi $H$ là trực tâm tam giác $PMN$ . Chứng minh rằng đường thẳng qua $H$ song song với $AP$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEF$ .Các cách giải: 1
Bài 3Gọi $\mathbb{N}$ là tập các số nguyên dương. Một hàm số $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ được gọi là bonza nếu $f(a)$ chia hết $b^a-f(b)^{f(a)}$ với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ . Hãy xác định hằng số thực nhỏ nhất $c$ sao cho $f(n)\le cn$ với mọi hàm bonza $f$ và mọi số nguyên dương $n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Một ước số thực sự của một số nguyên dương $N$ là một ước dương của $N$ khác $N$ . Dãy vô hạn $a_1,a_2,\ldots$ gồm các số nguyên dương, mỗi số có ít nhất ba ước số thực sự. Với mỗi $n\ge1$ , số nguyên $a_{n+1}$ là tổng ba ước số thực sự lớn nhất của $a_n$ . Hãy xác định tất cả giá trị có thể của $a_1$ .Các cách giải: 1
Bài 5Alice và Bazza chơi trò inekoalaty, một trò chơi hai người mà luật lệ phụ thuộc vào một số thực dương $\lambda$ mà cả hai người chơi đều biết. Ở lượt thứ $n$ của trò chơi (bắt đầu từ $n=1$ ), điều sau xảy ra: nếu $n$ lẻ, Alice chọn một số thực không âm $x_n$ sao cho $x_1+x_2+\cdots+x_n\le\lambda n$ ; nếu $n$ chẵn, Bazza chọn một số thực không âm $x_n$ sao cho $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le n$ . Nếu một người chơi không thể chọn được số phù hợp $x_n$ , trò chơi kết thúc và người kia thắng. Nếu trò chơi diễn ra mãi mãi, không ai thắng. Mọi số đã chọn đều được cả hai người chơi biết. Hãy xác định tất cả giá trị của $\lambda$ mà Alice có chiến lược thắng và tất cả giá trị mà Bazza có chiến lược thắng.Các cách giải: 1
Bài 6Xét một lưới $2025\times2025$ ô vuông đơn vị. Matilda muốn đặt lên lưới một số viên gạch hình chữ nhật, có thể khác kích cỡ, sao cho mỗi cạnh của mỗi viên gạch nằm trên một đường lưới và mỗi ô vuông đơn vị được phủ bởi nhiều nhất một viên gạch. Hãy xác định số viên gạch nhỏ nhất Matilda cần đặt sao cho mỗi hàng và mỗi cột của lưới có đúng một ô vuông đơn vị không bị viên gạch nào phủ.Các cách giải: 1