MathLabs

Bài 1

Một đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là đường thẳng nắng nếu nó không song song với trục xx, trục yy, hoặc đường thẳng x+y=0x+y=0. Cho n≥3n\ge3 là một số nguyên cho trước. Hãy xác định tất cả các số nguyên không âm kk sao cho tồn tại nn đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng thỏa mãn đồng thời: với mọi số nguyên dương aa và bb thỏa a+b≤n+1a+b\le n+1, điểm (a,b)(a,b) nằm trên ít nhất một trong các đường thẳng đó; và đúng kk trong số nn đường thẳng là đường thẳng nắng.
Bước 2 trên 6: Quy về n = 3 mà không đổi số đường nắng
Bước trướcBước tiếp
n ⟶ n−1 by deleting a long line, same count of sunny linesn\ \longrightarrow\ n-1\ \text{by deleting a long line, same count of sunny lines}
Phân tích chi tiết

Đường dài không bao giờ nắng, nên xóa nó đi loại bỏ một đường không nắng và để lại n−1n-1 đường phủ đúng lưới tam giác nhỏ hơn ứng với n−1n-1 (vì các điểm còn lại chính là a+b≤na+b\le n), với cùng số kk đường nắng. Lặp lại việc xóa này, mọi cấu hình hợp lệ với n≥3n\ge3 quy về cấu hình với n=3n=3 cùng kk; ngược lại, từ cấu hình n=3n=3 ta luôn có thể thêm đường dài mới a+b=n+1a+b=n+1 (hoặc a=1a=1 hay b=1b=1 tùy trường hợp) để tăng dần lên bất kỳ n≥3n\ge3 nào mà không đổi kk. Vậy chỉ cần phân loại kk cho n=3n=3.