第5問

アリスがすべての奇数ターンで $x_{2i-1}=0$ を打つとする。バザが何をしても、彼自身の制約により $x_2^2+\cdots+x_{2k}^2\le2k$ となるので、コーシー・シュワルツにより $x_2+\cdots+x_{2k}\le\sqrt{k\cdot2k}=k\sqrt2$;奇数項が $0$ なので、ターン $2k$ 後の累計は $x_1+\cdots+x_{2k}\le k\sqrt2$ である。$\lambda>1/\sqrt2$ なら、$\lambda(2k+1)-k\sqrt2>\sqrt{2k+2}$ となるほど大きな $k$ を選ぶ(左辺は $k$ に対して線形に、右辺は $\sqrt k$ のように増加するので可能)。このときアリスは $x_{2k+1}$ を $\lambda(2k+1)-(x_1+\cdots+x_{2k})$ までの任意の値として合法的に打てる、これは少なくとも $\lambda(2k+1)-k\sqrt2>\sqrt{2k+2}$ である;そのような値を打つと直ちに $x_1^2+\cdots+x_{2k+1}^2>2k+2$ となるので、バザは次のターンで合法な $x_{2k+2}\ge0$ を持たず負ける。