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国際数学オリンピック · 2025年

問題

  1. 第1問平面上の直線は、xx 軸、yy 軸、直線 x+y=0x+y=0 のいずれとも平行でないとき、サニーな直線と呼ばれる。n≥3n\ge3 を与えられた整数とする。次の2条件を同時に満たす平面上の nn 本の相異なる直線が存在するような、非負整数 kk をすべて求めよ:a+b≤n+1a+b\le n+1 を満たすすべての正の整数 aa と bb に対し、点 (a,b)(a,b) がそれらの直線の少なくとも1本の上にあること;そして、その nn 本のうちちょうど kk 本がサニーであること。解答: 1
  2. 第2問MM、NN をそれぞれ中心とする円 Ω\Omega、Γ\Gamma があり、Ω\Omega の半径は Γ\Gamma の半径より小さいとする。円 Ω\Omega と Γ\Gamma は相異なる2点 AA、BB で交わるとする。直線 MNMN は Ω\Omega と点 CC で、Γ\Gamma と点 DD で交わり、点 CC、MM、NN、DD はこの順に直線上に並んでいるとする。PP を三角形 ACDACD の外心とする。直線 APAP は Ω\Omega と再び E≠AE\ne A で交わる。直線 APAP は Γ\Gamma と再び F≠AF\ne A で交わる。HH を三角形 PMNPMN の垂心とする。HH を通り APAP に平行な直線が、三角形 BEFBEF の外接円に接することを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問N\mathbb{N} を正の整数全体の集合とする。すべての正の整数 aa および bb に対して f(a)f(a) が ba−f(b)f(a)b^a-f(b)^{f(a)} を割り切るとき、関数 f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} は bonza であるという。すべての bonza 関数 ff およびすべての正の整数 nn に対して f(n)≤cnf(n)\le cn が成り立つような、最小の実数定数 cc を求めよ。解答: 1
  4. 第4問正の整数 NN の真の約数とは、NN 自身を除く NN の正の約数のことである。無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots は、それぞれ少なくとも3つの真の約数をもつ正の整数からなる。各 n≥1n\ge1 に対して、整数 an+1a_{n+1} は ana_n の最大の3つの真の約数の和であるとする。a1a_1 としてあり得るすべての値を求めよ。解答: 1
  5. 第5問アリスとバザは、両者に知られている正の実数 λ\lambda に依存するルールを持つ2人ゲーム inekoalaty game をプレイする。ゲームの第 nn ターン(n=1n=1 から始まる)では次のことが起こる:nn が奇数ならアリスは x1+x2+⋯+xn≤λnx_1+x_2+\cdots+x_n\le\lambda n を満たす非負実数 xnx_n を選ぶ;nn が偶数ならバザは x12+x22+⋯+xn2≤nx_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le n を満たす非負実数 xnx_n を選ぶ。ある選手が適切な数 xnx_n を選べなければ、ゲームは終了しもう一方の選手が勝つ。ゲームが永遠に続くなら、どちらも勝たない。選ばれた数はすべて両選手に知られている。アリスが必勝戦略を持つ λ\lambda の値と、バザが必勝戦略を持つ場合をすべて求めよ。解答: 1
  6. 第6問2025×20252025\times2025 の単位正方形からなる格子を考える。マティルダはこの格子の上にいくつかの長方形のタイルを置きたい(大きさは異なってもよい);各タイルの各辺は格子線上にあり、各単位正方形は高々1枚のタイルで覆われるものとする。格子のすべての行とすべての列がタイルで覆われていない単位正方形をちょうど1つ持つようにするために、マティルダが置く必要のあるタイルの最小枚数を求めよ。解答: 1