MathLabs

Bài 1

Có 20262026 số nguyên lớn hơn 11 được viết trên bảng đen, không nhất thiết khác nhau. Trong một nước đi, Khổng Tử chọn hai số nguyên m>1m>1 và n>1n>1 ở hai vị trí khác nhau trên bảng và thay hai số nguyên này bằng lcm⁡(m,n)gcd⁡(m,n)\tfrac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)} và gcd⁡(m,n)\gcd(m,n). Ông tiếp tục thực hiện các nước đi chừng nào còn có thể. (a) Chứng minh rằng, bất kể các lựa chọn của Khổng Tử, sau hữu hạn nước đi, có đúng một số nguyên MM trên bảng lớn hơn 11. (b) Chứng minh rằng giá trị của MM không phụ thuộc vào các lựa chọn của Khổng Tử.
Bước 1 trên 4: Viết lại phép thay và theo dõi tích
Bước trướcBước tiếp
lcm⁡(m,n)gcd⁡(m,n)=mngcd⁡(m,n)2,new pair product=mngcd⁡(m,n)\frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}=\frac{mn}{\gcd(m,n)^2},\qquad \text{new pair product}=\frac{mn}{\gcd(m,n)}
Phân tích chi tiết

Dùng lcm⁡(m,n)⋅gcd⁡(m,n)=mn\operatorname{lcm}(m,n)\cdot\gcd(m,n)=mn, hai số thay thế là g:=gcd⁡(m,n)g:=\gcd(m,n) và mn/g2mn/g^2, có tích là mn/gmn/g. Mỗi khi g>1g>1, tích mới mn/gmn/g nhỏ hơn ngặt so với tích cặp cũ mnmn, nên tích của cả 20262026 số trên bảng giảm ngặt; mỗi khi g=1g=1, cặp thay thế là (1,mn)(1,mn), giữ nguyên tích tổng thể nhưng tạo ra một số 11 mới (vì m,n>1m,n>1 đều khác 11, trong khi mn>1mn>1).