Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2026

Đề thi

Bài 1Có $2026$ số nguyên lớn hơn $1$ được viết trên bảng đen, không nhất thiết khác nhau. Trong một nước đi, Khổng Tử chọn hai số nguyên $m>1$ và $n>1$ ở hai vị trí khác nhau trên bảng và thay hai số nguyên này bằng $\tfrac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}$ và $\gcd(m,n)$ . Ông tiếp tục thực hiện các nước đi chừng nào còn có thể. (a) Chứng minh rằng, bất kể các lựa chọn của Khổng Tử, sau hữu hạn nước đi, có đúng một số nguyên $M$ trên bảng lớn hơn $1$ . (b) Chứng minh rằng giá trị của $M$ không phụ thuộc vào các lựa chọn của Khổng Tử.Các cách giải: 1
Bài 2Cho tam giác $ABC$ và gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$ . Lấy các điểm $K$ và $L$ lần lượt nằm hẳn bên trong các tam giác $BMC$ và $BNC$ , sao cho $K$ nằm hẳn bên trong tam giác $ABL$ và $L$ nằm hẳn bên trong tam giác $AKC$ . Giả sử $\angle KBA=\angle ACL$ , $\angle LBK=\angle LNC$ , và $\angle LCK=\angle BMK$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKL$ . Chứng minh rằng $OM=ON$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $n$ là một số nguyên dương. Liu Bang và Xiang Yu có một thanh gỗ dài $1$ và muốn chia nó cho nhau. Liu đánh dấu nhiều nhất $n$ điểm trên thanh gỗ, rồi Xiang đánh dấu nhiều nhất $n$ điểm trên thanh gỗ. Các điểm được đánh dấu đôi một phân biệt. Sau đó, thanh gỗ được cắt tại tất cả các điểm đã đánh dấu, tạo thành một số mảnh. Tiếp theo, họ lần lượt lấy một mảnh chưa ai lấy, với Liu đi trước. Mục tiêu của mỗi người là làm cực đại tổng độ dài các mảnh của mình. Với mỗi $n$ , hãy xác định giá trị lớn nhất $c$ sao cho Liu có thể đảm bảo tổng độ dài ít nhất $c$ , bất kể cách chơi của Xiang.Các cách giải: 1
Bài 4Shan-Yu và Mulan đang chơi một trò chơi. Cho $\theta$ là một góc với $0^\circ<\theta<180^\circ$ mà cả hai người chơi đều biết. Ban đầu, Shan-Yu tạo một tam giác giấy $T$ với kích thước tùy ý anh ta chọn. Sau đó, họ lặp đi lặp lại các bước sau: nếu $T$ có ít nhất một góc có số đo đúng bằng $\theta$ , thì trò chơi dừng lại và Mulan thắng; ngược lại, Mulan chọn một điểm $P$ trên chu vi của $T$ , khác ba đỉnh của nó, rồi cắt một đường thẳng từ $P$ tới đỉnh đối diện của $T$ , chia nó thành hai tam giác; Shan-Yu bỏ đi một trong hai tam giác, và tam giác còn lại trở thành $T$ mới. Với những giá trị thực nào của $\theta$ thì Mulan có thể đảm bảo chiến thắng sau hữu hạn bước, bất kể Shan-Yu chơi thế nào?Các cách giải: 1
Bài 5Cho $\mathbb{R}_{>0}$ là tập hợp các số thực dương. Hãy xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ sao cho $\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}_{>0}$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương lớn hơn $1$ . Giả sử với mọi số nguyên dương $n$ , số $a_{n+1}$ là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn $a_n$ sao cho $\gcd(a_{n+1},a_i)>1$ với mọi $i=1,2,\ldots,n$ . Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $T$ và $L$ sao cho $a_{n+T}=a_n+L$ với mọi số nguyên dương $n$ .Các cách giải: 1