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第4問

Shan-Yu と Mulan がゲームをしている。0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ を満たす角 θ\theta が両プレイヤーに知られているとする。最初に、Shan-Yu は自分の好きな寸法の紙の三角形 TT を作る。その後、2人は次のステップを繰り返し行う:もし TT がちょうど θ\theta に等しい角を少なくとも1つ持てば、ゲームは終了し Mulan の勝ちとなる;そうでなければ、Mulan は TT の周上の3頂点以外の点 PP を1つ選び、PP から TT の対頂点へまっすぐ切り込みを入れてそれを2つの三角形に分ける;Shan-Yu は2つの三角形のうち一方を捨て、残った三角形が新しい TT となる。Shan-Yu がどのようにプレイしても Mulan が有限回のステップで勝利を保証できるような実数 θ\theta の値をすべて求めよ。
ステップ 1/4: kθ に等しい角があれば Mulan の必勝局面である
前のステップ次のステップ
angle kθ (k≥1) ⟹cut into θ+(k−1)θ Mulan wins in at most k−1 cuts\text{angle }k\theta\ (k\ge1)\ \stackrel{\text{cut into }\theta+(k-1)\theta}{\Longrightarrow}\ \text{Mulan wins in at most }k-1\text{ cuts}
詳しい解説

k≥1k\ge1 に関する帰納法で、kθk\theta に等しい角を持つ任意の三角形から Mulan が勝てることを示す。k=1k=1 ならゲームは直ちに終了する。k≥2k\ge2 なら、Mulan は角 kθk\theta の頂点から対辺へ切り込みを入れ、その角を θ\theta と (k−1)θ(k-1)\theta に分ける:Shan-Yu が角 θ\theta の方を残せば Mulan は即座に勝ち、角 (k−1)θ(k-1)\theta の方を残せば帰納法の仮定によりさらに高々 k−2k-2 回のカットで勝てる。