国際数学オリンピック · 2026年

問題

第1問黒板に $1$ より大きい $2026$ 個の整数が書かれており、それらは異なるとは限らない。1回の操作で、孔子は黒板の異なる場所から2つの整数 $m>1$ と $n>1$ を選び、これら2つの整数を $\tfrac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}$ と $\gcd(m,n)$ に置き換える。彼は可能な限り操作を続ける。(a) 孔子の選択にかかわらず、有限回の操作の後、黒板上で $1$ より大きい整数 $M$ がちょうど1つだけになることを証明せよ。(b) $M$ の値が孔子の選択によらないことを証明せよ。解答: 1
第2問 $ABC$ を三角形とし、点 $M$ と $N$ をそれぞれ辺 $AB$ と $AC$ の中点とする。点 $K$ と $L$ をそれぞれ三角形 $BMC$ と $BNC$ の真に内部にとり、 $K$ が三角形 $ABL$ の真に内部にあり、 $L$ が三角形 $AKC$ の真に内部にあるようにする。 $\angle KBA=\angle ACL$ 、 $\angle LBK=\angle LNC$ 、 $\angle LCK=\angle BMK$ が成り立つとする。 $O$ を三角形 $AKL$ の外心とする。 $OM=ON$ を証明せよ。解答: 1
第3問 $n$ を正の整数とする。Liu Bang と Xiang Yu は長さ $1$ の棒を1本持っており、それを2人で分けたい。まず Liu が棒の上に高々 $n$ 個の点に印を付け、次に Xiang が棒の上に高々 $n$ 個の点に印を付ける。印を付けられた点はすべて異なる。その後、印を付けられたすべての点で棒を切り、いくつかの断片を作る。続いて、Liu から始めて交互にまだ取られていない断片を1つずつ取っていき、各プレイヤーは自分の断片の長さの合計を最大化することを目指す。各 $n$ に対し、Xiang の打ち方にかかわらず Liu が少なくとも長さの合計 $c$ を保証できるような最大の値 $c$ を求めよ。解答: 1
第4問Shan-Yu と Mulan がゲームをしている。 $0^\circ<\theta<180^\circ$ を満たす角 $\theta$ が両プレイヤーに知られているとする。最初に、Shan-Yu は自分の好きな寸法の紙の三角形 $T$ を作る。その後、2人は次のステップを繰り返し行う:もし $T$ がちょうど $\theta$ に等しい角を少なくとも1つ持てば、ゲームは終了し Mulan の勝ちとなる;そうでなければ、Mulan は $T$ の周上の3頂点以外の点 $P$ を1つ選び、 $P$ から $T$ の対頂点へまっすぐ切り込みを入れてそれを2つの三角形に分ける;Shan-Yu は2つの三角形のうち一方を捨て、残った三角形が新しい $T$ となる。Shan-Yu がどのようにプレイしても Mulan が有限回のステップで勝利を保証できるような実数 $\theta$ の値をすべて求めよ。解答: 1
第5問 $\mathbb{R}_{>0}$ を正の実数全体の集合とする。すべての $x,y\in\mathbb{R}_{>0}$ に対して $\sqrt{\tfrac{x^2+f(y)^2}{2}}\ge\tfrac{f(x)+y}{2}\ge\sqrt{xf(y)}$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ をすべて求めよ。解答: 1
第6問 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ を $1$ より大きい正の整数からなる無限数列とする。すべての正の整数 $n$ に対して、 $a_{n+1}$ はすべての $i=1,2,\ldots,n$ で $\gcd(a_{n+1},a_i)>1$ を満たす $a_n$ より大きい最小の正の整数であるとする。すべての正の整数 $n$ に対して $a_{n+T}=a_n+L$ が成り立つような正の整数 $T$ と $L$ が存在することを証明せよ。解答: 1