Bài 6

Với số nguyên dương $x$, ký hiệu $\operatorname{rad}(x)$ là tích các ước nguyên tố phân biệt của $x$. Theo định nghĩa tham lam của dãy, một số nguyên $x\ge a_1$ xuất hiện trong dãy khi và chỉ khi $\gcd(x,a_i)>1$ với mọi $i$ có $a_i<x$. Định nghĩa thứ tự bộ phận trên dãy bởi $a_m\preceq a_n$ khi $m\le n$ và $\operatorname{rad}(a_m)\mid\operatorname{rad}(a_n)$. Mỗi khi $a_m\preceq a_i$, mọi ước nguyên tố của $\gcd(x,a_m)$ cũng chia hết $a_i$, nên $\gcd(x,a_m)>1$ tự động kéo theo $\gcd(x,a_i)>1$. Do đó $x\ge a_1$ xuất hiện trong dãy khi và chỉ khi $\gcd(x,a_i)>1$ với mọi số hạng $\preceq$-cực tiểu $a_i<x$.