第6問

$P$ を小さい素数 $p\le a_1^2$ の有限集合とする。ステップ2より、すべての $\preceq$-極小項は素因数を $P$ にしか持たないので、その根基は $L:=\prod_{p\in P}p$ の約数である。したがって $\preceq$-極小項は有限個しかない。同じ根基を持つ項については、最初に現れる項が後に現れるすべての項に先行するからである。数列全体の任意の $\preceq$-極小項 $a_i$ について $\operatorname{rad}(a_i)\mid L$ であり、また $a_1$ 自身も素因数をすべて $P$ に持つので、任意の $x\ge a_1$ が $a_i<x$ なるすべての $\preceq$-極小項について $\gcd(x,a_i)>1$ を満たすことは、数列全体のすべての $\preceq$-極小項について満たすことと同値である（もし $a_i>x$ なる $\preceq$-極小項で $\gcd(x,a_i)=1$ なら、$x$ は $a_i$ より前に現れ得ず矛盾する）。このような根基はすべて $L$ を割るので、$\gcd(x+L,a_i)>1\iff\gcd(x,a_i)>1$ である。したがって $x$ が数列に現れることと $x+L$ が現れることは同値であり、主張された平行移動周期性が得られる。