MathLabs

アジア太平洋数学オリンピック · 1989年

問題

  1. 第1問x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n を正の実数とし、S=x1+x2+⋯+xnS=x_1+x_2+\cdots+x_n とおく。(1+x1)(1+x2)⋯(1+xn)≤1+S+S22!+S33!+⋯+Snn!(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!} を証明せよ。解答: 1
  2. 第2問方程式 6(6a2+3b2+c2)=5n26(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2 は a=b=c=n=0a=b=c=n=0 以外の整数解をもたないことを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問平面上の3点 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 に対し、A4=A1A_4=A_1、A5=A2A_5=A_2 とおく。n=1,2,3n=1,2,3 について、BnB_n を AnAn+1A_nA_{n+1} の中点、CnC_n を AnBnA_nB_n の中点とする。Dn=AnCn+1∩BnAn+2D_n=A_nC_{n+1}\cap B_nA_{n+2}、En=AnBn+1∩CnAn+2E_n=A_nB_{n+1}\cap C_nA_{n+2} とおく。三角形 D1D2D3D_1D_2D_3 の面積と三角形 E1E2E3E_1E_2E_3 の面積の比を求めよ。解答: 1
  4. 第4問SS を、1≤a<b≤n1\le a<b\le n を満たす正整数の組 (a,b)(a,b) を mm 個含む集合とする。(a,b),(a,c)(a,b),(a,c)、および (b,c)(b,c) が SS に属する三つ組 (a,b,c)(a,b,c) が少なくとも m(4m−n2)3n\dfrac{m(4m-n^2)}{3n} 個あることを示せ。解答: 1
  5. 第5問次の条件を満たす全ての関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R を求めよ。(1) ff は狭義単調増加、(2) f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x が全ての実数 xx で成り立つ。ただし gg は ff の合成逆関数である。解答: 1