第1問

x_1,x_2,\ldots,x_n

を正の実数とし、

S=x_1+x_2+\cdots+x_n

とおく。

(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}

を証明せよ。

ステップ 2/4: S の各べきと対応する対称和を比較する

S^k=(x_1+\cdots+x_n)^k\ge k!e_k\qquad(1\le k\le n)

詳しい解説

$k$ 個の相異なる添字の集合を固定する。その積 $x_{i_1}\cdots x_{i_k}$ は添字の各置換ごとに現れるので、 $S^k$ に少なくとも $k!$ 回現れる。他の項は正だから、全ての集合について足せば $S^k\ge k!e_k$ となる。