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アジア太平洋数学オリンピック
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1989年
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第1問
第1問
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
x_1,x_2,\ldots,x_n
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
を正の実数とし、
S
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
S=x_1+x_2+\cdots+x_n
S
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
とおく。
(
1
+
x
1
)
(
1
+
x
2
)
⋯
(
1
+
x
n
)
≤
1
+
S
+
S
2
2
!
+
S
3
3
!
+
⋯
+
S
n
n
!
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}
(
1
+
x
1
)
(
1
+
x
2
)
⋯
(
1
+
x
n
)
≤
1
+
S
+
2
!
S
2
+
3
!
S
3
+
⋯
+
n
!
S
n
を証明せよ。
ステップ 3/4: 全ての対称和の上界を得る
前のステップ
次のステップ
e
k
≤
S
k
k
!
(
k
=
1
,
2
,
…
,
n
)
e_k\le\dfrac{S^k}{k!}\qquad(k=1,2,\ldots,n)
e
k
≤
k
!
S
k
(
k
=
1
,
2
,
…
,
n
)
詳しい解説
S
k
≥
k
!
e
k
S^k\ge k!e_k
S
k
≥
k
!
e
k
を整理すると
e
k
≤
S
k
/
k
!
e_k\le S^k/k!
e
k
≤
S
k
/
k
!
を得る。これは積の展開に現れる各非定数項に必要な評価である。
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