第1問

x_1,x_2,\ldots,x_n

を正の実数とし、

S=x_1+x_2+\cdots+x_n

とおく。

(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}

を証明せよ。

ステップ 4/4: 次数ごとの評価を足し合わせる

\prod_{i=1}^n(1+x_i)=\sum_{k=0}^ne_k\le 1+\sum_{k=1}^n\dfrac{S^k}{k!}

詳しい解説

$e_0=1$ とし、前段の上界を $k=1,\ldots,n$ について用いる。得られる不等式は求める主張そのものである。