第2問

方程式

6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2

は

a=b=c=n=0

以外の整数解をもたないことを証明せよ。

ステップ 4/5: 二度目の法 8 の議論で a,n_0 を偶数にする

前のステップ次のステップ

a^2+2b_0^2+6c_1^2=5n_0^2\pmod{8}\Rightarrow 2\mid a,\ 2\mid n_0

詳しい解説

代入して $2$ で割ると $a^2+2b_0^2+6c_1^2=5n_0^2$ となる。法 $2$ から $a,n_0$ は同じ偶奇性をもつ。ともに奇数と仮定すると、法 $4$ から $b_0,c_1$ も同じ偶奇性をもち、ともに奇数なら法 $8$ で矛盾し、ともに偶数なら式は $1\equiv5\pmod8$ となってやはり矛盾する。従って $a$ と $n_0$ はともに偶数である。