第3問

平面上の3点

A_1,A_2,A_3

に対し、

A_4=A_1

、

A_5=A_2

とおく。

n=1,2,3

について、

B_n

を

A_nA_{n+1}

の中点、

C_n

を

A_nB_n

の中点とする。

D_n=A_nC_{n+1}\cap B_nA_{n+2}

、

E_n=A_nB_{n+1}\cap C_nA_{n+2}

とおく。三角形

D_1D_2D_3

の面積と三角形

E_1E_2E_3

の面積の比を求めよ。

ステップ 4/5: メネラウスで E の三角形を求める

前のステップ次のステップ

E_1=A_1B_2\cap C_1A_3\Rightarrow\frac{GE_1}{GA_1}=\frac25

詳しい解説

三角形 $A_1A_2B_2$ と直線 $C_1E_1A_3$ にメネラウスの定理を適用し、中点の比を用いると $GE_1/GA_1=2/5$ 。巡回対称性により全ての添字で $GE_n/GA_n=2/5$ となるので、 $E_1E_2E_3$ は $A_1A_2A_3$ の比 $2/5$ の相似拡大像である。