MathLabs

第4問

SS を、1≤a<b≤n1\le a<b\le n を満たす正整数の組 (a,b)(a,b) を mm 個含む集合とする。(a,b),(a,c)(a,b),(a,c)、および (b,c)(b,c) が SS に属する三つ組 (a,b,c)(a,b,c) が少なくとも m(4m−n2)3n\dfrac{m(4m-n^2)}{3n} 個あることを示せ。
ステップ 5/5: グッドマン型の下界を得る
前のステップ次のステップ
T≥13(4m2n−mn)=m(4m−n2)3nT\ge\frac13\left(\frac{4m^2}{n}-mn\right)=\boxed{\frac{m(4m-n^2)}{3n}}
詳しい解説

コーシー・シュワルツの評価を出現回数の不等式に代入する。T≥(4m2/n−mn)/3=m(4m−n2)/(3n)T\ge(4m^2/n-mn)/3=m(4m-n^2)/(3n) となり、求める結果である（右辺が負なら主張は自明）。