第5問

次の条件を満たす全ての関数

f:\mathbb R\to\mathbb R

を求めよ。(1)

f

は狭義単調増加、(2)

f(x)+g(x)=2x

が全ての実数

x

で成り立つ。ただし

g

は

f

の合成逆関数である。

ステップ 4/5: 単調性が差の全ての倍数を評価する

前のステップ次のステップ

x>y\Rightarrow x+n(a-b)>y,\qquad x-n(a-b)>y,\quad a=f(x)-x,\ b=f(y)-y

詳しい解説

$x>y$ なら増加関数 $f_n$ と $g_n$ は順序を保つ。 $f_n(x)=x+na$ から第一の不等式、前段の $g_n(x)=x-na$ から第二の不等式を得る。従って $x-y+n(a-b)$ と $x-y-n(a-b)$ はともに正であり、全ての正整数 $n$ について $|n(a-b)|<x-y$ 。