MathLabs

第5問

次の条件を満たす全ての関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R を求めよ。(1) ff は狭義単調増加、(2) f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x が全ての実数 xx で成り立つ。ただし gg は ff の合成逆関数である。
ステップ 5/5: 変位を定数にし、解を確認する
前のステップ次のステップ
∣n(a−b)∣<x−y∀n∈Z>0⇒a=b⇒f(x)=x+c|n(a-b)|<x-y\forall n\in\mathbb Z_{>0}\Rightarrow a=b\Rightarrow f(x)=x+c
詳しい解説

a≠ba\ne b なら、∣n(a−b)∣|n(a-b)| は十分大きいとき固定値 x−yx-y を超え、矛盾する。よって全ての x,yx,y で f(x)−x=f(y)−yf(x)-x=f(y)-y、従って f(x)=x+cf(x)=x+c である。その逆関数は g(x)=x−cg(x)=x-c で、f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x が成り立つ。任意の実数 cc が解である。